Разложение на множители способом группировки членов

Иногда удается разлагать многочлены на множители, соединяя несколько членов данного многочлена в один и применяя один из предыдущих приемов.

1. ax + bx + ay + by. Сгруппируем 1-ый и 2-ой члены в один и также 3-ий и 4-ый; тогда ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b).

Мы вынесли в первой группе общий множитель x за скобку и во второй – общий множитель y за скобку – теперь мы получили 2 члена и видим, что у них есть общий множитель (a + b), который также вынесем за скобку. Итак

ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)

2. ac + bc – ad – bd = c (a + b) – d (a + b) = (a + b) (c – d).

Разница этого примера от предыдущего в том, что во второй группе пришлось вынести за скобку общий множитель со знаком минус (–d).

3. ac – bc + bd – ad. Здесь, разбив многочлен на две группы, как указано внизу его, мы увидим, что после вынесения за скобку множителя c в первой группе в скобках получим a – b. Во второй группе можно вынести за скобку +d, и тогда в скобках получим b – a, но можно вынести за скобку и –d, и тогда в скобках получим –b + a или, что то же самое, a – b. Мы видим, что второе вынесение за скобку для нас целесообразнее, так как тогда в скобках и от первой группы и от второй получаются одинаковые множители, а именно: (a – b). Итак,

ac – bc + bd – ad = c (a – b) – d (a – b) = (a – b) (c – d).

4. ax² – ay² + x – y = a (x² – y²) + (x – y) = a (x + y) (x – y) + (x – y) = (x – y) [a (x + y) + 1] = (x – y) (ax + ay + 1).