Случаи систем уравнений с тремя неизвестными

67. Особенные случаи систем уравнений с тремя неизвестными. Возьмем следующую систему уравнений:

3x + 4y + 5z = 17
2x + 3y + 4z = 15
5x + 7y + 9z = 32

Наблюдательный человек здесь может подметить, что третье уравнение вовсе не является новым, а является следствием двух первых: каждый член 3-го уравнения получается от сложения соответствующих членов 1-го и 2-го уравнения (5x = 3x + 2x, 7y = 4y + 3y; 9z = 5z + 4z; 32 = 17 + 15), и само собою понятно, что если
3x + 4y + 5z должно равняться 17,
2x + 3y + 4z должно равняться 15,
то (3x + 4y + 5z) + (2x + 3y + 4z) должно равняться 32.

Поэтому мы здесь имеем, в сущности, только 2 уравнения с 3 неизвестными, и они имеют бесконечно много решений.

Можно составлять такие системы и более сложным путем. Возьмем два уравнения:

x – 2y + 3z = 7
2x + y – z = 5

Умножим каждое из них на какое-либо число и сложим (или вычтем) по частям полученные уравнения. Умножим обе части 1-го уравнения, например, на 3 и обе части второго на (–2) и полученные уравнения сложим. Тогда получим уравнения:

–x – 8y + 11z = 11.

Это уравнение является следствием двух первых и поэтому все три уравнения, взятые вместе, должны иметь бесконечно много решений.

Попробуем решать эти уравнения: 1) из 1-го и 3-го сложением по частям исключим x; 2) из 2-го и 3-го, умножив предварительно третье на 2, также исключим x:

Решение системы уравнений

Если теперь разделить обе части 1-го из полученных уравнений на 2 и обе части 2-го на 3, то получим одно и то же уравнение, а именно:

–5y + 7z = 9.

Это обстоятельство и является признаком того, что наша система имеет бесконечно много решений.

Если мы изберем такой план: 1) из 1-го и, напр., 3-го уравнений определим x и y через z; 2) подставим полученные выражения в 3-е уравнение, то должны получить само собою очевидное равенство, вроде 0 = 0 или 7 = 7 или 15 = 15 или –11 = –11 и т. п.

В самом деле:

Решение системы уравнений

то после предыдущего становится ясным, что эти 3 уравнения совместно решить нельзя. В самом деле, ведь левая часть 3-го уравнения получается от сложения левых частей 1-го и 2-го уравнений, а в таком случае эта сумма должна равняться 17 + 15 или 32, но не может равняться 33.

Также точно можно, взяв 2 уравнения произвольно, составить третье, несовместимое с ними, умножением каждого из взятых двух уравнений на какое-нибудь число и сложением (или вычитанием) полученных уравнений, причем известный член должно как-либо изменить. Например, если первое из взятых уравнений умножим на 2 (получим: 6x + 8y + 10z = 34), второе на 3 (получим: 6x + 9y + 12z = 45), сложим полученные уравнения по частям, но вторую часть как-либо изменим (напр., вместо получающейся суммы 79 возьмем 100), то полученное уравнение

12x + 17y + 22z = 100

не совместимо с первыми двумя.

Если кто-либо стал бы решать систему несовместимых уравнений, то пришел к результату явно нелепому, например:

0 = 5 или 7 = 11 или –5 = +5 и т. п.