Деление многочленов с остатком

Те случаи деления, какие мы не можем выполнить, дают повод ввести в дело алгебраические дроби (подобно тому, как это было в арифметике). Так 

Деление многочленов с остатком и т. п.

Пояснение. Во 2-м примере (a2 ÷ a5) и один множитель a5 – нельзя этот множитель выделить в данном произведении. В 3-м примере нельзя выполнить деление потому, что в делителе есть буква c, какой нет в делимом. В 4-м примере деление не выполнимо потому, что не может от умножения многочлена (a + b) на одночлен или многочлен в произведении получится одночлен 3ab.

Алгебраические дроби разделяются на одночленные (и числитель и знаменатель – одночлены) и на многочленные (или числитель – многочлен, или знаменатель – многочлен, или оба они – многочлены). В предыдущих примерах 3 первых дроби – одночленные, последняя – многочленная.

Пусть требуется

(x2 + 5x + 7) ÷ (x + 3).

Выполним деление:

Деление многочленов с остатком

Видим, что дальше продолжать деление нельзя, так как 1 не делится на старший член делителя x. Поэтому мы можем сказать, что от этого деления в остатке получается 1. Полное частное должно быть представлено в виде Деление многочленов с остатком (подобно тому, как в арифметике Деление многочленов с остатком

Также

Деление многочленов с остатком

Несколько сложнее обстоит дело со случаем деления многочленов с остатком, если располагают эти многочлены по восходящим степеням какой-либо буквы. На этом мы останавливаться не будем.