Свойства пропорций

70. Свойства пропорций. К тем сведениям о пропорциях, какие даны в п. 51, мы теперь можем присоединить ряд других.

Пусть имеем пропорцию

a : b = c : d.

Мы знаем ее свойство «произведение крайних членов равно произведению средних», т. е.

ab = bc      (1)

Разделим обе части последнего уравнения на cd, - получим:

a/c = b/d или a : c = b : d

Сравнивая эту пропорцию с начальною, мы приходим к заключению, что в пропорции можно переставлять ее средние члены.

Разделив обе части уравнения (1) на ab, получим:

d/b = c/a или d : b = c : a,

т. е. (сравнивая с начальною пропорциею) в пропорции можно переставлять ее крайние члены.

В последней пропорции, согласно выясненному выше, опять можно переставить средние члены, - получим:

d : c = b : a,

т. е. (сравнивая эту пропорцию с начальною) в пропорции можно переставлять и крайние и средние члены.

Мы можем затем в начальной пропорции написать 2-е отношение на месте первого и обратно, - получим еще пропорцию:

c : d = a : b.

В этой пропорции мы можем: 1) переставлять средние члены

c : a = d : b,

2) переставлять крайние члены

b : d = a : c

и 3) переставлять и крайние и средние члены

b : a = d : c

Таким образом мы можем из каждой данной пропорции получить перестановками членов еще 7 пропорций:

a : b = c : d
a : c = b : d
d : b = c : a
d : c = b : a
c : d = a : b
c : a = d : b
b : d = a : c
b : a = d : c.