Возведение в степень

6. Подобно тому, как сложение одинаковых чисел привело к новому действию – к умножению, так точно умножение одинаковых чисел может привести к мысли о необходимости создания нового действия. Это новое действие, заменяющее собой умножение одинаковых чисел, называется возведением в степень.

Вместо a ∙ a ∙ a ∙ a пишут a4,

что читают: «возвести число a в четвертую степень». Также точно:

172 = 17 ∙ 17 = 289; 63 = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216; 35 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 243;
(1/2)^4; возведение дроби в степень и т. п.

Для возведения в степень задаются 2 числа: одно выражает каждый множитель, – и оно называется основанием степени, другое показывает число одинаковых множителей, – оно называется показателем степени; в результате возведения в степень получается новое число, выражающее произведение одинаковых множителей – оно называется степенью. Вот пример, где указано значение этих названий:

Основание степени, показатель степени, степень

Если показатель степени = 2, то вместо «возвести во вторую степень» говорят «возвести в квадрат», а вместо слова «степень» употребляют название «квадрат». Также точно вместо «третьей степени» употребляют название «куб» («возвести в куб»).

Читают:
     a2. . . . . квадрат числа a
     b3. . . . . куб числа b
     x4. . . . . четвертая степень числа x
     cn. . . . . n-ая степень числа c и т. д.

Вот более сложные формулы:
     a2 + b2 . . . . сумма квадратов чисел a и b
     (a + b)2 . . . . квадрат суммы чисел a и b
     (a + b + c)3 . . куб суммы трех чисел
     (a^2 - b^2)/(a^2 + b^2). . . частное от деления разности квадратов двух чисел на сумму квадратов тех же чисел
     a + a2 + a3 + a4 . . . сумма первой, второй, третьей и четвертой степеней числа a и т. д.

Возведение в степень не обладает переместительным законом, т. е. ab не равно ba. Это видно из простейших примеров:

32 = 3 ∙ 3 = 9, но 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8.