Случаи систем двух уравнений с двумя неизвестными

61. Особенные случаи систем двух уравнений с двумя неизвестными. Иногда данные два уравнения представляют требования, противоречащие друг другу – тогда эти уравнения совместно решить нельзя. Вот наиболее простой пример:

x + y = 11
x + y = 13

Ясно, что сумма двух чисел не может одновременно равняться и 11 и 13.

Вот более сложный пример:

3x – 4y = 7
6x – 8y = 13.

Возможно подметить, что левая часть 2-го уравнения получается из левой части 1-го умножением на 2. Если обе части 2-го уравнения разделить на 2, то получим:

3x – 4y = 7
3x – 4y = 6 ½

Теперь ясно, что эти 2 уравнения противоречат друг другу.

Еще более сложный пример:

4x + 6y = 7
6x + 9y = 11.

Если разделить обе части 1-го уравнения на 2 и обе части 2-го на 3, то получится явно противоречащие друг другу требования:

2x + 3y = 3 ½
2x + 3y = 3(2/3).

Если бы кто не заметил этого и стал бы решать данные уравнения при помощи, напр., уравнивания коэффициентов, то получил бы:
f61

Противоречащие уравнения

Это и указывает на невозможность совместного решения данных уравнений.

Наоборот, иногда бывают случаи, что два данных уравнения равносильны одному. Например:

2x + 3y = 8
4x + 6y = 16.

Мы видим, что 2-ое уравнение можно упростить, разделив обе его части на 2, после чего получим уравнение 2x + 3y = 8 такое же точно, как и 1-ое. Следовательно, здесь, в сущности, мы имеем лишь одно уравнение с 2-мя неизвестными, а оно, как мы знаем, имеет бесконечно много решений.