Уравнения первой степени с одним неизвестным

49. Происхождение уравнений. Возьмем какой-либо линейный двучлен (см. п. 43), например, 5x – 7. Здесь буква x обозначает какое-либо число. Мы можем заменить x любым числом. Заменим x сначала нулем; тогда наш двучлен окажется равен –7. Заменим затем x числом +1; тогда наш линейный двучлен окажется равен числу –2 (в самом деле, придется 5 умножить на +1 и к полученному произведению прибавить –7); заменим затем x числом 2, - тогда наш линейный двучлен окажется равен +3; заменим x числом 2½, - тогда двучлен окажется равен +5½; заменим x числом –2½, - тогда двучлен окажется равен числу –19½ и т. д. без конца.

Мы можем записать эти результаты в виде таблицы:

Значения переменной

Мы видим, что число x изменяется; то взяли x = 0, то взяли x = 1 и т. д. - поэтому его называют переменным; так как, кроме того, число x меняется только по нашему желанию (мы можем взять для x произвольное значение), то это переменное называется независимым — в рассматриваемом примере x является независимым переменным. Рассматриваемый нами двучлен (5x – 7) также принимает различные значения (см. таблицу), но эти значения получаются в зависимости от того, какое числовое значение дано независимому переменному x. Поэтому мы можем установить, что в рассматриваемом примере двучлен меняется в зависимости от x; двучлен является таким образом здесь зависимым переменным. Часто называют еще зависимое переменное именем функция (добавляют: чего, какого независимого переменного): двучлен 5x – 7 является функциею x.

Возможен вопрос, обратный предыдущему: нельзя ли найти такое числовое значение для x, чтобы наш двучлен оказался равен какому-нибудь наперед заданному числу, например 55? Этот вопрос записан в последней строчке нашей таблицы: какое число надо взять для x (записано при помощи знака вопроса), чтобы двучлен оказался равен числу 55?

Удобно записать этот вопрос в такой форме:

5x – 7 = 55

(мы хотим выбрать число для x, чтобы 5x – 7 равнялось числу 55).

Последняя запись носит название «уравнение». Наше уравнение 5x – 7 = 55 выражает, следовательно, запись задачи: найти число для x, чтобы наш двучлен оказался равен 55. Непосредственным соображением эту задачу легко решить: из числа 5x вычитается число 7 и получается 55, - значит число 5x должно равняться 55 + 7, т. е. 62 или 5x = 62. Здесь известно произведение двух множителей (62) и один из них (5), - надо найти другой. Для этой цели надо 62 разделить на 5 — получим 12(2/5), из чего заключаем, что для x надо взять числовое значение 12(2/5). Мы решили нашу задачу и это решение можем записать в форме
x = 12(2/5).

Этот результат называется решением нашего уравнения.

Также легко найти решения других подобных уравнений.

3x + 2 = 14
x = 4

8 – 3x = 2
x = 2

12a – 9 = 51
a = 5 и т. п.

В каждом примере в первой строчке написано уравнение, которое является записью некоторой задачи (например, для третьего примера: найти число для a, чтобы двучлен 12a – 9 равнялся числу 51), во второй строчке каждого числа дано решение соответствующего уравнения.

Возникает желание развить предыдущее: нельзя ли записывать подобным же образом более сложные вопросы. Вот, например, один из них:

Возьмем два двучлена с одним и тем же независимым переменным, например, 4x + 3 и 7x – 1. Если мы станем x давать различные значения, то, в зависимости от них, будем получать соответствующие значения для двучленов:

пусть x = 0; тогда 1-ый двучлен = 3, а 2-ой = –1;
пусть x = 1; тогда 1-ый двучлен = 7, а 2-ой = 6;
пусть x = –1; тогда 1-ый двучлен = 1, а 2-ой = –8;
пусть x = 2; тогда 1-ый двучлен = 11, а 2-ой = 13 и т. д.

Возникает вопрос: нельзя ли отыскать такое значение для x, чтобы оба наши двучлена оказались равными одному и тому же числу. Эту задачу возможно записать в форме уравнения:

4x + 3 = 7x – 1

Теперь уже несколько труднее найти решение этого уравнения. Однако, все-таки возможно 1) увидать, что член 4x должен оказаться на 4 единицы меньше члена 7x (к члену 4x прибавляется еще 3 единицы, а от члена 7x вычитается одна единица, и тогда они оказываются равными), откуда заключаем, что 3x должно равняться 4 и, следовательно, для x надо взять число 1(1/3). И тогда мы запишем решение нашего уравнения:

x = 1(1/3)

Можно записывать уравнением и более сложные задачи. Например, уравнение

(x – 3)/(x + 3) – (x – 1)/(x + 1) = ¼

выражает задачу: найти такое значение для x чтобы дробь (x – 3)/(x + 3) оказалась на ¼ больше дроби (x – 1)/(x + 1). Непосредственно решить эту задачу уже вряд ли удастся.

В рассмотренных примерах мы имели лишь такие уравнения, где требовалось найти числовое значение лишь для одного переменного в каждом уравнении. Поэтому такие уравнения называются уравнениями с одним неизвестным.

Ясно, что могут иметь место и уравнения с двумя, с тремя и более неизвестными. Так, например, задача: найти числовые значения для x и y так, чтобы дробь x/y была на ¼ больше дроби x/(y + 8), может быть записана уравнение с двумя неизвестными:

x/y – x/(y + 8) = 1/4

Также точно, уравнение

3x – 5x + 2z = 14

выражает задачу: найти числа для x, y и z, чтобы трехчлен 3x – 5y + 2z оказался равен 14, - здесь мы имеем уравнение с тремя неизвестными.

Мы видели, что сообразить непосредственно, какому числу должно равняться неизвестное (или: каким числам должны равняться неизвестные), становится тем труднее, чем сложнее уравнение. Поэтому является потребность изыскать способы, при помощи которых можно было бы легко находить решение уравнений. Мы должны в первую очередь научиться решать уравнения с одним неизвестным и притом такие, где не придется встретиться с квадратом, кубом и т. д. этого неизвестного (уравнения первой степени).