Умножение и деление алгебраических дробей

Мы умеем выполнять умножение и деление арифметических дробей, например:

Умножение и деление арифметических дробей

если буквы a, b, c и d обозначают арифметические целые числа.

Возникает вопрос, не остаются ли в силе эти равенства, если a, b, c и d будут обозначать: 1) какие-нибудь арифметические числа и 2) любые относительные числа.

Прежде всего придется рассмотреть сложные дроби, например:

Умножение и деление сложных дробей

Умножение и деление сложных дробей

Этих примеров уже достаточно, чтобы убедиться в справедливости равенств, относящихся к умножению и делению дробей, когда числа a, b, c и d какие угодно (целые или дробные) арифметические. Заметим, что основных равенств лишь 2, а именно:

Правила умножения и деления арифметических дробей

Остается теперь рассмотреть, останутся ли справедливыми эти равенства, если некоторые из чисел a, b, c и d предположить отрицательными: если, например, a отрицательное число, b, c и d – положительные, то дробь a/b отрицательна, а дробь c/d положительна; поэтому, например, от деления a/b на c/d должно получиться отрицательное число, но мы видим, что, согласно нашему предположению, и выражение (ad)/(bc) должно выразить отрицательное число, т. е. равенство Формула деления дробей оправдывается и в этом случае. Легко также рассмотреть и другие предположения для знаков числе a, b, c и d. Результатом этого рассмотрения является убеждение в справедливости равенств

Правила умножения и деления алгебраических дробейФормулы умножения и деления алгебраических дробей

и для случая, когда a, b, c и d выражают любые относительные числа, т. е. для умножения и деления алгебраических дробей остаются в силе те же правила, как и для арифметических.

Теперь мы можем выполнять умножение и деление алгебраических дробей. Наибольшие затруднения представляет здесь вопрос о сокращении дробей, получаемых после умножения или деления. Если алгебраические дроби одночленные, то сокращение полученного результата не представит затруднений, а если дроби алгебраические, то является необходимым предварительно числителя и знаменателя каждой из данных дробей разлагать на множители.

Примеры:

Примеры умножения и деления алгебраических дробей

Примеры умножения и деления алгебраических дробей